Equação do Segundo Grau

 

 

 A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial de grau dois, cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado.

É representada sob a forma:

ax² + bx + c = 0

Donde x é a incógnita (termo variável), a, b e c são números reais e coeficientes da equação, sendo “a” um valor diferente de 0 (a ≠ 0).

A equação de segundo grau também recebe o nome de equação quadrática.

Fórmula de Bhaskara

bserve que a equação de segundo grau busca encontrar valores reais, denominados de raiz da equação.

A Fórmula de Bhaskara é a fórmula geral para resolução da equação do segundo grau, uma vez que determina as raízes (valores) de uma equação quadrática:

 

O discriminante da equação designa a letra grega delta (Δ) que equivale à expressão valor b²-4ac.

Importante ressaltar que se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas. Se Δ for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará somente uma raiz. E se Δ for menor que zero (Δ < 0), a equação não apresentará raízes reais.

 

Equações do Segundo Grau Completas e Incompletas

Na equação de segundo grau completa utiliza-se a fórmula de Bhaskara.

Os coeficientes a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0). Por exemplo:

5 x² + 2x + 2 = 0

a = 5
b = 2
c = 2

As equações incompletas do segundo grau podem ou não utilizar a fórmula de Bhaskara.

Isso porque apresentam o elemento “a” como único coeficiente diferente de zero (a ≠ 0). Enquanto isso b e c são iguais a zero (b = 0, c = 0 ou b = c = 0). Por exemplo:

2 x² = 0
a = 2
b = 0
c = 0

Exercícios Resolvidos

 

Exercício 1

Resolva a equação de segundo grau completa, utilizando a Fórmula de Bhaskara:

2 x² + 7x + 5 = 0

 

Antes de mais nada é importante observar cada coeficiente da equação, portanto:
a = 2
b = 7
c = 5

Através da fórmula do discriminante da equação, devemos encontrar o valor de Δ para depois encontrar as raízes da equação por meio da fórmula geral ou a fórmula de Bhaskara:

Δ = 7² – 4.2.5
Δ = 49-40
Δ = 9

Observe que se o valor de Δ é maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas. Assim, após encontrar o Δ, vamos substituí-lo na fórmula de Bhaskara:

x = -7± √9/2.2
x = -7± 3/4
x₁ = -7+3/4
x₁ = -4/4
x₁ = -1
x₂ =-7-3/4
x₂ = -10/4
x₂= -5/2

Logo, os valores das duas raízes reais para determinada equação apresenta as resultantes:  
x₁ = -1
x₂ = -5/2

Exercício 2

Resolva as equações incompletas do segundo grau:
a) 5x² – x = 0

Primeiramente, busca-se os coeficientes da equação:
a=5
b=1
c=0

Nesse caso, trata-se de uma equação incompleta onde c = 0. Para calculá-la devemos colocar o x em evidência por meio da técnica de fatoração. A partir daí, apresenta duas equações de primeiro grau ao igualar os dois termos a zero:

5x² – x = 0
x (5x-1) = 0
x₁ = 0 ou 5x-1 = 0
5x-1 = 0
5x = 1
x₂ = 1/5

Portanto, os dois valores possíveis para o x, ou seja, as raízes da equação são o x₁ = 0 e x₂ = 1/5.

 b) 2x² + 5 = 0

a = 2
b = 0
c = 2

Trata-se de uma equação incompleta de segundo grau, onde b = 0, sendo calculada ao isolar o termo:

2x² - 2 = 0
2x² = 2
x² = 2/2
x = ± √1
x₁ = 1 e x₂ = -1

Logo, as duas raízes da equação são x₁ = 1 e x₂ = -1


c) 5x² = 0

a = 5
b = 0
c = 0

Nesse caso, a equação incompleta apresenta os coeficientes b e c iguais a zero (b = c = 0):

5x^​2 = 0
x² = 0/5
x = ± √0
x = ±0
x₁ = 0
x₂ = -0

Portanto, as raízes dessa equação possui os valores: x₁ = 0 e x₂ = -0

 

 

ATIVIDADE PARA ENTREGAR

Atenção, caros alunos, os exercícios abaixo devem ser resolvidos e entregues com capa.

 Capa:

ESCOLA ESTADUAL CAIO NELSON DE SENA

DISCIPLINA: MATEMÁTICA

 DATA:

ALUNO:________________________________________

TURMA:________________________________________

EXERCÍCIOS

Exercícios - Equações do 2º Grau

1.   Resolva as seguintes equações do 2º grau

a)   x2 + 7x = 0

b)   -3x2 + 9x = 0

c)   2x2 + 3x = 0

d)   x2 + 9x = 0

e)   y2 – 10 = 0

f)    2x2 + 50 = 0

g)   -5r2 + 20 = 0

h)   5y2- 9y – 2 = 0

i)    x2 – 9x + 20 = 0

j)    y2 + 9y + 14 = 0

k)   b2 – 3b – 10 = 0

l)    y2 + 7y + 6 = 0

m) 4y2 – 4y + 2 = 0

n)   5t2 – 9t + 4 = 0

2.   Resolva as seguintes equações do 2º grau

a)   x2 – 3x – 4 = 0

b)   x2 + 8x + 16 = 0

c)   3x2 – 2x – 1 = 0

d)   4x2 – 2x + 1 = 0

e)   5x2 + 4x – 1 = 0

f)    x2 – 7x + 15 = 0

g)   9x2 – 6x + 1 = 0

h)   2x2 – 4x – 1 = 0

i)    x2 – x – 12 = 0

j)    6x2 + x – 1 = 0

k)   x2 + 7x + 10 = 0

l)    x2 – 2x – 15 = 0

m) 2x2 + 5x – 3 = 0

n)   x2 – x – 12 = 0

o)   x² – 2x = 0

p)   2x² + x = 0

q)   x – x² = 0

r)    1 – x² = 0

s)   3x² – 4x + 1 = 0

t)    2x² + 3x + 1 = 0

u)   7x² + 13x – 2 = 0

v)   x2 + x – 6 = 0

w)  x2 = 0

x)   z) 3x² – 7x + 2 = 0